LINIER PROGRAMING
Metode Pemrograman linier pertama kali ditemukan oleh ahli statistika Amerika Serikat yang bernama Prof. George Dantzig (Father of the Linear Programming).Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, social dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.
Tahapan dalam penyelesaian optimasi dari Linear programming ini adalah sebagai berikut :
- Menentukan decision of variables
- Membuat objective function
- Memformulasikan constraints
- Menggambarkan dalam bentuk grafik
- Menentukan daerah kemungkinan/ "feasible"
- Menentukan solusi optimum.
a) Metode Grafik
- Digunakan untuk menyelesaikan optimasi dengan maksimum 2 variabel.
- Untuk variabel lebih dari 2, penyelesaiannya menggunakan metode ke-dua.
b) Metode Simplex
- Digunakan untuk proses dengan jumlah variabel lebih dari 2.
- Tahapan dalam metode simplex ini lebih kompleks dibandingkan dengan metode grafik.
Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, social dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.
Karakteristik Pemrograman Linier
Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis, linearitas ditunjukkan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan pembatas.
Sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.
Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat additivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat additivitas dipenuhi jika nilai kanan merupakan total penggunaaan masing-masing variabel keputusan. Jika dua variabel keputusan misalnya merepresentasikan dua produk substitusi, dimana peningkatan volume penjualan salah satu produk akan mengurangi volume penjualan produk lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat additivitas tidak terpenuhi.
Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan.
Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstanta. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu.
Keempat asumsi (sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi. Untuk meyakinkan dipenuhinya keempat asumsi ini, dalam pemrograman linier diperlukan analisis sensitivitas terhadap solusi optimal yang diperoleh.
Formulasi Permasalahan
Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain.
Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.
Pembentukan model matematik
Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik. Model matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.
Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤ atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adala model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu mengungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan.
Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua karakteristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan.
Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut :
Fungsi tujuan :
Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
Sumber daya yang membatasi :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = /≤ / ≥ b2
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = /≤ / ≥ bm
x1, x2, …, xn ≥ 0
Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan (xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.
Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.
Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya. Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas.
Contoh :
Empat produk diproses secara berurutan pada 2 mesin. Waktu pemrosesan dalam jam per unit produk pada kedua mesin ditunjukkan table di bawah ini :
Mesin Waktu per unit (jam)
Produk 1 Produk 2 Produk 3 Produk 4
1 2 3 4 2
2 3 2 1 2
Biaya total untuk memproduksi setiap unit produk didasarkan secara langsung pada jam mesin. Asumsikan biaya operasional per jam mesin 1 dan 2 secara berturut-turut adalah $10 dan $5. Waktu yang disediakan untuk memproduksi keempat produk pada mesin 1 adalah 500 jam dan mesin 2 adalah 380 jam. Harga jual per unit keempat produk secara berturut-turut adalah $65, $70, $55 dan $45. Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model matematiknya !
Solusi :
Alternatif keputusan adalah : jumlah produk 1,2,3 dan 4 yang dihasilkan.
Tujuannya adalah memaksimumkan keuntungan. Perhatikan, keuntungan diperoleh dengan mengurangkan biaya dari pendapatan.
Keuntungan per unit dari produk 1 = 65 – (10x2 + 3x5) = 30
Keuntungan per unit dari produk 2 = 70 – (10x3 + 2x5) = 30
Keuntungan per unit dari produk 3 = 55 – (10x4 + 1x5) = 10
Keuntungan per unit dari produk 4 = 45 – (10x2 + 2x5) = 15
Sumber daya pembatas adalah waktu kerja yang disediakan kedua mesin.
Definisikan :
x1 : jumlah produk 1 yang dihasilkan
x2 : jumlah produk 2 yang dihasilkan
x3 : jumlah produk 3 yang dihasilkan
x4 : jumlah produk 4 yang dihasilkan
Model umum pemrograman linier :
Maksimumkan z = 30 x1 + 30x2 + 10 x3 + 15 x4
Kendala :
2x1 + 3 x2 + 4x3 + 2x4 ≤ 500
3x1 + 2 x2 + x3 + 2x4 ≤ 380
x1, x2, x3 , x4 ≥ 0
TRANSPORTATION
Pengertian Transportasi
- Transportasi berasal dari kata latin yitu transportare, dimana trans berarti seberang atau sebelah lain dan portare berarti mengangkut atau membawa.
Jadi transportasi berarti mengangkut atau membawa (sesuatu) ke sebelah lain atau dari suatu tempat ke tempat lainnya.
Transportasi seperti itu merupakan suatu jasa yang diberikan guna menolong barang atau orang untuk dibawa dari suatu tempat ke tempat lainnya.
Dengan demikian definisi transportasi adalah :
Sebagai usaha mengangkut atau membawa barang dan penumpang dari suatu tempat ke tempat lainnya.
Transportasi diartikan sebagai usaha memindahkan, menggerakkan, mengangkut, atau mengalihkan suatu objek dari suatu tempat ke tempat lain,dimana di tempat lain ini objek tersebut lebih bermanfaat atau dapat berguna untuk tujuan - tujuan tertentu.
Transportasi merupakan suatu proses yakni proses pindah, proses gerak, proses mengangkut dan mengalihkan dimana proses ini tidak bisa dilepaskan dari keperluan akan alat pendukung untuk menjamin lancarnya proses dimaksud sesuai dengan waktu yang diinginkan.
Unsur Transportasi
a.pemindahan/pergerakan
b.mengubah tempat ke tempat lain.
Unsur yang membentuk Transportasi:
a.Sesuatu yang diangkut
b.Kendaraan
c.Jalan.
d.Terminal
e.Organisasi yaitu pengelolaan angkutan, aturan/tata laksana.
Kelima unsur ini mempunyai ciri-ciri tersendiri yang harus dipertimbangkan dalam menelaah masalah transportasi
Dalam hubungan ini perbaikan atau peningkatan transportasi terjadi bila terjadi perlakuan dan perbaikan pada salah satu atau lebih unsur-unsur tersebut
Peranan Transportasi
- Pembangunan perekonomian perlu didukung dengan perbaikan dalam bidang transportasi. Perbaikan transportasi akan secara umum dapat menghasilkan penurunan tarif.
- Pengaruh dari penurunan tarif akibat perbaikan transportasi akan memberikan pengaruh kepada: Tersedianya barang-barang, Stabilitas dan penyamarataan harga, Menaikkan nilai tanah, Meredusir harga, dan lainnya termasuk memperbesar persaingan dan pada akhirnya akan menguntungkan pembeli atau konsumen, dan juga akan memberi pengaruh dengan menimbulkan urbanisasi dan deurbanisasi.
- Memungkinkan pemindahan barang-barang dari satu dimana barang-barang tersebut tidak dibutuhkan,ke tempat atau lokasi yang membutuhkannya,artinya memberi "place utility" pada barang.
- Memungkinkan pengadaan barang di suatu tempat atau lokasi tepat pada waktunya. Artinya memberi "time utilit" pada barang.
Peranan Transportasi
-Transportasi berpengaruh besar terhadap perorangan, masyarakat pembangunan ekonomi dan social politik suatu negara,
-Transportasi merupakan sarana dan prasarana bagi pembangunan ekonomi negara yang bisa mendorong lajunya pertumbuhan ekonomi.
- Transportasi dan Kehidupan Masyarakat
- Spesialisasi secara geografis
- Produksi yang ekonomis
- Pembangunan Nasional dan Hankamnas
- Manfaat Ekonomi
- Manfaat Sosial
- Manfaat Politis
- Manfaat Kewilayahan
Peranan Transportasi
- Ketersediaan Barang : Adanya transport membuat barang dapat dikirim pada pembeli (pasar), biaya transport yang murah membuat barang-barang dapat dikirim kepada pembeli lain yang lebih jauh tempat tinggalnya.
- Stabilitas Harga : Transport/pergerakkan barang membuat harga-harga barang menjadi stabil, peningkatan harga suatu barang dari satu tempat akan memuat barang serupa datang dari tempat lain.
- Nilai Tanah : Transport membuat barang-barang hasil produksi dapat dikirim ke pembeli, tanah menjadi produktif sehingga mempunyai harga bernilai, banyak tanah menjadi tidak produktif karena transport tidak tersedia.
- Transport Dan Harga Barang : Transport berpengaruh pada biaya produksi dan harga barang menjadi lebih murah,penurunan biaya transport membuat harga barang turun barang sehingga bisa dikirim ke tempat yang lebih jauh lagi.
- Urbanisasi: Perkembangan kota sangat tergantung pada transport,keterbatasan transportasi menghambat perkembangan kota.
- Transport dan Kegiatan Sosial: Adanya transport membuat kita dapat mengunjungi keluarga, tempat rekreasi, penurunan biaya transport akan membuat kita dapat mengunjungi keluarga, tempat rekreasi yang lebih jauh lagi.
Pergerakan Dan Transportasi
Alasan yang menyebabkan manusia dan barang bergerak dari suatu tempat ke tempat lain :
-Komplementaris,daya tarik relatif antara dua atau lebih temapt tujuan.
-Keinginan untuk mengatasi kendala jarak, diukur dari waktu dan uang yang dibutuhkan, serta teknologi terbaik apa yang tersedia untuk mencapainya
-Persaingan antar beberapa lokasi untuk memenuhi permintaan dan penawaran.
Mengapa Perlu Manajemen Transportasi?
- Transportasi merupakan sesuatu yang sangat dibutuhkan oleh setiap manusia sebagaimana makan,pakaian, dan tempat tinggal.
- Kebutuhan manusia dan barang terhadap transportasi berbeda-beda sesuai kepentingannya.
- Ketersediaan alat angkut sangat variatif, dari yang berkapasitas kecil - besar,lambat - cepat, murah-mahal,dsb.
- Transportasi sebagai ,ata rantai ekonomi.
- Teknologi.
